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Calculadora online de Limites de Funções

Um excelente script para calcular limites de funções, para além de esboçar o respectivo gráfico.
Ideal apara os estudantes de Matemática do 12º ano (mas não só, claro), que aqui podem confirmar se as suas resoluções estão correctas.
É pena que esteja em Inglês, mas penso que a este nível, isso não atrapalhará muito, até porque as pessoas que o utilizarão sabem muito bem com o que estão a lidar.

Instruções, através de exemplos, de escrita das funções:
exCalcLim

Outubro 2, 2014   Não há comentários

Tutorial GeoGebra (versão portuguesa) – Parte 4/9 – “Exploração da Barra de Entradas / Barra de Comandos”

 

 

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Tutorial Geogebra 4.1.61.0 Webstart, em Português

A ideia deste tutorial é fazer uma introdução rápida às capacidades mais importantes do Geogebra, e fornecer as ferramentas para poder explorar mais profundamente o programa. Tanto quanto possível, tentarei aprofundar um pouquinho mais do que o básico, enfatizando as características mais comummente usadas.
Deve fazer o download do programa, aqui, em Inglês e numa versão mais avançada.
Se prefere o português, como eu no tutorial, faça aqui o download de uma versão anterior mas que, tanto quanto sei, é a última nesta nossa língua de Camões.

Se seguir este documento, a experimentação é a base do sucesso deste tutorial e, sobretudo, da qualidade da sua aprendizagem. Passe horas a explorar e divertir-se.

[…continuação]

4. Exploração da Barra de Entradas / Barra de Comandos

– RegressãoPolinomial (Regressão Polinomial é a criação de um polinómio que melhor se adapta a um conjunto de pontos dado)
– AleatórioInteiroEntre (Geração de números aleatórios inteiros entre um número mínimo e um número máximo)
– Zeros e Extremos de uma Função (Determinação das Raízes/Zeros de uma função, bem como os seus Extremos – Máximos e Mínimos)
– Sequências

Nesta quarta secção vamos mostrar como utilizar a Barra de Entradas e os Comandos GeoGebra.
O ficheiro completo desta secção, pode ser encontrado aqui.

A Barra de Entradas, que fica na parte inferior do ecrã, e já conhecemos de secções anteriores deste tutorial, pode ser também usada para digitarmos os Comandos do Geogebra, e que são inúmeros.
Quando começamos a digitar um comando nessa barra, o Geogebra vai logo apresentando os comandos (e respectivas sintaxes) que estão disponíveis e que correspondem à parte que já escrevemos.
Faça umas experiências, começando a digitar letras “mais ou menos ao acaso”.

Regressão Polinomial

Um desse comandos é a Regressão Polinomial, que vamos testar, e que exige como argumentos uma lista de pontos e o grau do polinómio a traçar.

Abra uma nova folha de trabalho (ficheiro) GeoGebra.
Seleccione Opções >> Rotulagem >> Nenhum Objecto Novo.
Coloque, ao acaso, 5 pontos na folha.
Iremos encontrar o polinómio de 4º grau que melhor se adapta a esses pontos.
Para isso usaremos o comando RegressãoPolinomial[ , ]
Listas são conjuntos de objectos delimitados por chavetas { }.
Assim, vamos escrever:
RegressãoPolinomial[ { A, B, C, D, E }, 4 ]

Agora movimente os pontos e veja o que acontece.
O polinómio altera-se, para continuar a ser aquele que melhor se adapta aos pontos, qualquer que seja a sua posição.

Vamos, de passagem usar o comando Integral, cuja sintaxe é Integral[ , , ]
Digite Integral[f(x),2,6] para ver o efeito.
Sombreia a zona correspondente no gráfico (Folha Geométrica) e calcula o seu valor do integral da função f entre os pontos x=2 e x=6, que, no nosso caso, dá 10.37, como se pode ver na Folha Algébrica, ponto dependente a.

Geração de Números Aleatórios

Um outro comando do Geogebra é a possibilidade de gerarmos números aleatórios.
Uma das formas em que podemos fazer isso é através do comando de sintaxe AleatórioInteiroEntre[ , ]
Vamos usar esse comando adaptando-o para gerar um Ponto no gráfico, de coordenadas aleatórias.
Apague tudo o que tem na folha de trabalho e digite:
P = (AleatórioInteiroEntre [1,7], AleatórioInteiroEntre [1,4])

Isso vai gerar um ponto com coordenada x entre 1 e 7 (inclusive) e coordenada y entre 1 e 4 (inclusive).

No nosso caso, deu o ponto P=(6,1)

Agora movimente os pontos e veja o que acontece.
O polinómio altera-se, para continuar a ser aquele que melhor se adapta aos pontos, qualquer que seja a sua posição.

Vamos, de passagem usar o comando Integral, cuja sintaxe é Integral[ , , ]
Digite Integral[f(x),2,6] para ver o efeito.
Sombreia a zona correspondente no gráfico (Folha Geométrica) e calcula o seu valor do integral da função f entre os pontos x=2 e x=6, que, no nosso caso, dá 10.37, como se pode ver na Folha Algébrica, ponto dependente a.

Sequências

Um dos comandos mais poderosos é Sequência.
Há três subtipos e o que vamos usar tem a sintaxe
Sequência[,,, ]

Apague tudo o que tem na folha de trabalho e…

Crie um selector/deslizador, chamado r, com valores entre 0 e 5.
Crie um outro selector/deslizador, chamado n, com valores entre 1 e 100, e passo incremental igual a 1.

Digite o comando
Sequência[ (r cos( i 2π/n), r sin(i 2π/n)), i, 0, n-1 ]

Para digitar o símbolo π, digite Alt-p. Tenha cuidado com os parênteses.

Este comando cria uma sequência de pontos (o primeiro argumento do comando) à medida que i vai de 0 até n-1.
Neste caso a forma é uma circunferência de raio r (1º parâmetro do comando)
E o número de pontos é n (um a um, i, desde 0 até n-1), parâmetros seguintes do comando.

Para ver como ele constrói a sequência, desde i=0 até n-1, vamos ver em animação.
Clique da direita no deslizador r e marque a caixa Animar. Lá está, o selector r comanda o raio da circunferência
Repare que aparece um pequeno botão Play/Pause no canto inferior esquerdo da Folha Gráfica.
Faça o mesmo para o selector n

Notas Finais:

. Os comandos (como RegressãoPolinomial, por exemplo) são escritas com maiúsculas, como mostrado, e os seus argumentos são escritos dentro de parênteses rectos [ ], enquanto as funções do programa (como sin, por exemplo) são escritas totalmente em minúsculas e os seus argumentos ficam dentro de parênteses curvos ( ). Pode encontrar uma lista de funções do próprio programa, aqui.
. Eu utilizo frequentemente a característica RegressãoPolinomial para criar gráficos polinomiais com determinadas características (max, min, etc.). Depois copio as imagens para usar em testes/apresentações/questionários/fichas de trabalho, que faço nas aulas.
. O comando Sequência cria uma lista de objectos. O GeoGebra usa frequentemente listas de objectos para fazer coisas. Uma lista é delimitada por chavetas, por exemplo, {1, 2, 10, 2.3 } ou {(0,1), (9,3), (7,6)} ou {A, B, C}. Mais listas, aqui.
. É fácil utilizar letras Gregas para nomear variáveis. Digite no seu teclado Alt-a e obtém o alfa, Alt-b para o beta, e assim sucessivamente. Pode ver a lista http://www.geogebra.org/help/docuen/index.html?n=161.html. Contudo, o π representa sempre a constante.

[continua…]

Julho 30, 2012   Não há comentários

Tutorial GeoGebra (versão portuguesa) – Parte 3/9 – “Derivadas”

 

 

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Tutorial Geogebra 4.1.61.0 Webstart, em Português

A ideia deste tutorial é fazer uma introdução rápida às capacidades mais importantes do Geogebra, e fornecer as ferramentas para poder explorar mais profundamente o programa. Tanto quanto possível, tentarei aprofundar um pouquinho mais do que o básico, enfatizando as características mais comummente usadas.
Deve fazer o download do programa, aqui, em Inglês e numa versão mais avançada.
Se prefere o português, como eu no tutorial, faça aqui o download de uma versão anterior mas que, tanto quanto sei, é a última nesta nossa língua de Camões.

Se seguir este documento, a experimentação é a base do sucesso deste tutorial e, sobretudo, da qualidade da sua aprendizagem. Passe horas a explorar e divertir-se.

[…continuação]

3. Construção de Derivadas

– Rasto de pontos
– Aumento das fontes e dos objectos
– Exportar imagens para o clipboard

Nesta secção vamos ver a derivada de uma função, a tangente a uma curva, ligar o traçado de rasto, copiar a Folha Gráfica para o clipboard, e modificar o tamanho da fonte/letra que usamos.
O ficheiro (formato GeoGebra) completo desta secção pode ser encontrado aqui.

Abra uma nova folha de trabalho no GeoGebra. Escreva a função f(x) = cos(3x) / (1 + x^2). Altere a linha do gráfico para azul e torne –a um pouco mais grossa.

A seguir digite f ‘(x) na barra de entradas. O GeoGebra calcula automaticamente a derivada de f(x).

Seleccione a ferramenta Novo Ponto e clique em qualquer parte do gráfico de f. Faça a cor do ponto passar a vermelho.
Seleccione a ferramenta Tangentes (terá de a procurar através do menu Ferramentas >> Ferramentas Especiais de Rectas e Locus >> Tangentes) e depois clique no ponto e na função f. Torne a linha tangente numa linha a tracejado.

Seleccione (em Ferramentas >> Ferramentas de Medida >> Declive) a ferramenta Declive e clique na linha. Na Folha Algébrica, clique no círculo perto de m para ocultar o declive.

Seleccione a ferramenta Textoe escreva: “Declive da Tangente: “ + m
Aumente o tamanho do texto, se quiser.

Oculte o gráfico de f’(x).

Na Barra de Entrada, escreve (x(A),m). Isto cria um ponto B cuja coordenada x é a coordenada x de A (o ponto vermelho em f) e cuja coordenada y é m. À medida que arrastamos o ponto A, o ponto B segue a curva derivada. Faça o B ser verde.

Clique da direita sobre o ponto B e seleccione “Activar Traço”. Agora, à medida que arrasta A, o B deixa um registo do seu caminho. Pode ocultar/mostrar o gráfico de f’(x) para confirmar que este é realmente o gráfico da derivada.

Desligue o Activar Traço para o ponto B, e a partir do menu Exibir, escolha Recalcular Todos os Objectos para remover o traço do ponto B.

Esconda tudo excepto f e f’

Para copiar a Folha Gráfica completa para o Clipboard, escolha menu Editar >>Cópia da Folha Gráfica para a Área de Transferência. Pode depois colar a imagem noutro programa qualquer, como, por exemplo, o Word.

Com frequência será útil capturar apenas uma parte da Folha Gráfica. Se desenhar (clicar e arrastar) primeiro um rectângulo envolvendo a zona do ecrã que lhe interessa, então apenas a parte da Folha Gráfica que está dentro desse rectângulo será copiada para o clipboard. Por exemplo, posso copiar a vista à direita e colocá-la num questionário onde pergunto aos estudantes que gráfico corresponde a f e que gráfico corresponde a f´.

Finalmente, suponha que deseja usar esta folha de trabalho como parte de uma apresentação numa aula. Pode aumentar o tamanho dos elementos no ecrã, seleccionando menu Opções >> Tamanho das Fontes. Agora as pessoas lá atrás na sala de aula já conseguirão ver o que está a fazer/mostrar.

Notas finais:
. Se tem um ponto A, então as funções x(A) e y(A) devolvem as coordenadas x e y do ponto A.
. Se criar um objecto, como por exemplo, 4x + 1 ou (4,2) o GeoGebra automaticamente lhe dará um nome. Você também lhe poderá dar um nome, como, por exemplo, g(x) = 4x + 1 ou P = (4,2)

[continua…]

Junho 30, 2012   Não há comentários